Cụ đem lên đây hỏi là đúng địa chỉ rồi. Tôi giải hộ cho đây. Tôi có thể chứng minh mạnh hơn: a^2 <= 3b^2 -2 (<= nhỏ hơn hoặc bằng) hoặc tương đương a^2< 3b^2-1.
Bài này khó cho học sinh lớp chuyên. Cháu nào tự giải được trong 30 phút có triển vọng trở thành giáo sư.
Mở được 03 khóa mới giải được. Để dễ hiểu tôi chia thành 3 bước.
Bước 1: Chứng minh ước số chung lớn nhất USCLN(a,b)=1. Thật vậy giả sử USCLN(a,b)=d, suy ra (a+b) chia hết cho d. Theo gỉa thiết (ab+1) chia hết (a+b) nên suy ra (ab+1) phải chia hết cho d. Mặt khác ab chia hết cho d (vì cả a và b chia hết d). Suy ra 1 chia hết cho d. Suy ra d=1.
Bước 2: Chứng minh USCLN(a+b,a-b)=1 hoặc 2.
Thật vậy giả sử USCLN(a+b,a-b)=D, suy ra (a+b)+(a-b) và (a+b)-(a-b) chia hết cho D . Tức là 2a và 2b chia hết D. Do USCLN(a,b)=1, nên USCLN(2a,2b)=2. Suy ra 2 chia hết cho D. Suy ra D=1 hoặc 2.
Bước 3: (ab+1) chia hết (a+b) suy ra (b*b-1) chia hết cho (a+b) do b(a+b) chia hết cho (a+b).
Tương tự, (ab-1) chia hết (a-b) suy ra (b*b-1) chia hết cho (a-b) do b(a-b) chia hết cho (a-b).
Do, theo bước 2, USCLN(a+b,a-b)=2, suy ra 2(b*b-1) chia hết (a-b)(a+b), tức là chia hết (a*a-b*b).
Theo giả thiết b>1, suy ra b*b-1 khác không, từ đó suy ra 2(b*b-1) >= (a*a-b*b), tương đương 3b^2-2 >= a^2.
Trường hợp USCLN(a+b,a-b)=1, tương tự, suy ra a^2<= 2b^2-1.
Hết. Bài khó dành cho học sinh rất giỏi.
Người nói thì nhiều, người làm thì it. Quán cafe mà.
